研究生数学建模竞赛(研究生数学建模竞赛2022)

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聚类分析概述

聚类分析(cluster analyses)可作为一种定量方法,从数据分析的角度,给出一个准确、细致的分类工具。

聚类分析是一种无监督学习,与监督学习不同的是,簇中表示数据类别分类或者信息是没有的,是对位置类别的样本进行划分,按照一定的规则划分为若干个簇类,揭示其中存在的规律。

在数学建模中,聚类分析可以应用在数据预处理过程中,对于复杂结构的多维数据可以通过聚类分析的方法对数据进行聚集,使复杂结构数据标准化。聚类分析还可以用来发现数据项之间的依赖关系,从而去除或合并有密切依赖关系的数据项。聚类分析也可以为某些数据挖掘方法(如关联规则、粗糙集方法),提供预处理功能。在商业类问题上,聚类分析是细分市场的有效工具,被用来发现不同的客户群,并且它通过对不同的客户群的特征的刻画,被用于研究消费者行为,寻找新的潜在市场等等。

相似性度量

1.聚类分析(cluster analyses)可作为一种定量方法,从数据分析的角度,给出一个准确、细致的分类工具。

2.在聚类分析中,对于定量变量,常用的是 Minkowski 距离

3.在 Minkowski 距离中,常用的是欧氏距离,它的主要优点是当坐标轴进行正交旋转时,欧氏距离是保持不变的。因此,如果对原坐标系进行平移和旋转变换,则变换后样本点间的距离和变换前完全相同。

4.采用 Minkowski 距离时,一定要采用相同量纲的变量。如果变量的量纲不同,测量值变异范围相差悬殊时,建议首先进行数据的标准化处理,然后再计算距离。

5.在采用 Minkowski 距离时,还应尽可能地避免变量的多重相关性。多重相关性(multicollinearity)所造成的信息重叠,会片面强调某些变量的重要性。

6.由于 Minkowski 距离的这些缺点,一种改进的距离就是马氏距离,定义如下:

其中x, y为来自p 维总体Z的样本观测值,Σ为Z的协方差矩阵,实际中Σ往往是不知道的,常常需要用样本协方差来估计。马氏距离对一切线性变换是不变的,故不受量纲的影响。

7.此外,还可采用样本相关系数、夹角余弦和其它关联性度量作为相似性度量。

示例:

下图是数据的一般格式

则样品与样品之间的常用距离(样品i与样品j)

示例计算:

指标与指标之间的常用“距离”(指标i与指标j)

示例计算

2.2. 类与类间的相似性度量

一. 度量方法

1.由一个样品组成的类是最基本的类。如果每一类都由一个样品组成,那么样品间的距离就是类间距离。

2.如果某一类包含不止一个样品,那么就要确定类间距离,类间距离是基于样品间距离定义的。如果有两个样本类G1和G2,我们可以用下面的一系列方法度量它们间的距离:

1.最短距离法(nearest neighbor or single linkage method)

它的直观意义为两个类中最近两点间的距离。

2.最长距离法(farthest neighbor or complete linkage method)

它的直观意义为两个类中最远两点间的距离。

3.重心法(centroid method)

其中 x ‾ \overline{x}

,y ‾ \overline{y}

y

分别为G

4.类平均法(group average method)

它等于G1 ,G2中两两样本点距离的平均,式中n1 , n2 分别为G1 ,G2中的样本点个数。

5.离差平方和法(sum of squares method)


事实上,若 G1 ,G2内部点与点距离很小,则它们能很好地各自聚为一类,并且这两类又能够充分分离(即D12很大),这时必然有D = D12 − D1 − D2 很大。因此,按定义可以认为,两类G1 ,G2之间的距离很大。

二. 更形象化地表达

2.2. 系统聚类法 1. 概述

系统聚类法是聚类分析方法中常用的一种方法。它的优点在于可以指出由粗到细的多种分类情况,典型的系统聚类结果可由一个聚类图展示出来

如何才能生成这样的聚类图呢?,其步骤如下:

显而易见,这种系统归类过程与计算类和类之间的距离有关,采用不同的距离定义,有可能得出不同的聚类结果。

2.最短距离法

有了聚类图,就可以按要求进行分类。可以看出,在这五个推销员中w5的工作成绩最佳,w3w4的工作成绩最好,而w1w2的工作成绩较差。

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