如何计算二重积分(如何计算二重积分的极限存在还是不存在)

大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下如何计算二重积分的问题，以及和如何计算二重积分的极限存在还是不存在的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

一、二重积分怎么计算

1、∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2)(x+y)dy＝∫(0～1)(x＋3/2)dx＝1/2＋3/2＝2

2、二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

3、在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

4、例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积

5、参考资料来源：百度百科-二重积分

二、二重积分的计算公式

1、二重积分经常把直角坐标转化为极坐标形式主要公式有x=ρcosθ y=ρsinθ x^2+y^2=ρ^2 dxdy=ρdρdθ；极点是原来直角坐标的原点以下是求ρ和θ范围的方法：

2、一般转换极坐标是因为有x^2+y^2存在,转换后计算方便题目中会给一个x,y的限定范围，一般是个圆将x=ρcosθ y=ρsinθ代进去可以得到一个关于ρ的等式；

3、就是ρ的最大值而ρ的最小值一直是0过原点作该圆的切线,切线与x轴夹角为θ范围如：x^2+y^2=2x所以(ρcosθ)^2+(ρsinθ)^2=2ρcosθρ=2cosθ；此时0≤ρ≤2cosθ切线为x=0所以-2/π≤θ≤2/π

4、在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

5、为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域，其面积为

6、可得到二重积分在极坐标下的表达式：

三、二重积分的计算方法

、先一后二即柱坐标投影法：因为这方法可直接变为二重积分先把z的积分算出来，然后计算xOy面的积分。

先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

这个方法的原理就是把横截面面积A(z)加起来，就形式体积元素了，横截面面积会随着z而变化所以横截面A(z)是关于x和y的二重积分。

先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设

①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；

②函数条件：f（x,y,z）为含有与

四、二重积分计算公式

1、计算积分区域关于直线 y=x对称的二重积分

2、积分区域关于y=x对称的二重积分常可以这样计算

3、1．积分区域D关于直线y=x对称,则

4、(1){D区域}∫∫f(x,y)dxdy＝{D1区域}∫∫f(x,y)dxdy，当f(y，x)＝ f(x，y)

5、其中D1＝{(x，y)|(x，y)∈D，y≥x)也可换为 D2={(x，y)|(x，y)∈D，y≤x}；

6、(2){D区域}∫∫f(x,y)dσ＝{D区域}∫∫f(y,x)dσ

7、这是二重积分的特殊性质，非常有用。该性质表明，当积分区域D关于直线y=x对称时，二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置，常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性。

五、二重积分的计算公式是什么呢

1、二重积分是一种求平面上某个区域的函数值的方法。xydxdy的二重积分实际上就是计算函数f(x,y)在指定区域上的积分值，其中x和y分别是指定区域的两个自变量，函数f(x,y)是要积分的函数。一般情况下，二重积分的求解需要分为两个步骤：确定积分区域的边界和计算积分值。

2、首先，我们需要确定积分区域的边界。在xy平面上，一个积分区域是由一些简单曲线所围成的。这些曲线在确定积分区域时起到了关键作用，它们可以是直线、圆形、多边形或其他曲线形状。可以通过对这些曲线进行解析或图形分析的方式来确定积分区域。

3、其次，我们需要计算二重积分的值。可以使用重积分的定义来进行计算。以xy平面上的矩形区域为例，二重积分的计算公式可以表示为:

4、∬Rf(x,y)dxdy=∫a^b∫c^df(x,y)dxdy

5、其中，R表示被积分的区域，f（x,y）是所要积分的函数，而a、b、c、d分别表示xy平面上该区域的边界。具体的求解方法可以采用换序积分法、极坐标法等。

6、在实际应用中，xydxdy的二重积分常常用于求取平面上某个面积、质心、重心等物理量。此外还可以用于概率分布函数、热力学问题以及复杂的工程问题等方面的计算。

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