如何判断二次型正定？怎么判断正定还是半正定

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一、怎样判断二次型的正定性

1、只要存在某个x不为0就能保证y1，y2，y3至少有一个不为0时，f就是正定的。

2、所以只要所做的变换非退化就可以了。

3、方程组（*）只有零解,，就是表示只要x1，x2，x3不全为零，则y1，y2，y3也不全为零。

4、从而二次型化为f=y1^2+y2^2+y3^2>0，即f就是正定的。

5、对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于来判定二次型的正定性。

6、通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于来判定二次型的正定性。

二、正定二次型的判定方法

写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型(或对称矩阵)的正定性。

对于给定的二次型，先将化为标准形，然后中搜根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形桥盯中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；敏培和若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

三、正定二次型怎么判断

，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型(或对称矩阵)的正定性。

对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

二次型是n个变量上的二次齐次多项式。下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式：

其中a,…,f是系数。注意一般的二次函数和二次方程不是二次形式的例子，因为它们不总是齐次的。

任何非零的n维二次形式定义在投影空间中一个(n-2)维的投影空间。在这种方式下可把3维二次形式可视化为圆锥曲线。

术语二次型也经常用来提及二次空间，它是有序对（V,q），这里的V是在域k上的向量空间，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。

参考资料来源：百度百科-正定二次型

四、怎样判断二次型是否正定二次型

判断一个二次型是否正定，可以采用以下几种方法：

1.求特征值：通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。先求出矩阵的所有特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n（矩阵的阶数）来判定二次型的正定性。如果大于零的特征值个数等于n，则二次型是正定的。

2.计算顺序主子式：设A是二次型的矩阵，A正定（即二次型正定）的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零。因此，只需要计算A的各阶顺序主子式就可以判断二次型是否正定。

3.判断正惯性指数：正惯性指数是矩阵的一个指标，表示矩阵对正定二次型的稳定性。如果一个二次型的正惯性指数为n（矩阵为n阶），则该二次型是正定的。

4.特殊情况直接证明：有些二次型可以通过直接证明其正定性，例如当二次型的系数都是正数时，二次型就是正定的。

需要注意的是，以上方法并非互斥，可以根据实际情况选择合适的方法来判断二次型是否正定。

1、二次型是指一个关于n个变量的二次多项式，可以表示为Q（x）=x^TAx的形式，其中x=（x1,x2,…,xn）是n维列向量，A是一个n*n的实对称矩阵。如果A的所有特征值都大于0，则称Q（x）是正定二次型。

2\正定二次型具有以下性质：Q（x）的取值范围为[0,+∞），即Q（x）的值始终为非负数。当x≠0时，Q（x）>0。正定二次型的矩阵A必须是实对称矩阵，且所有特征值均为正。正定二次型的矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式不为0。

五、怎样判断二次型的正定性或者负定性

二次型是形如f(x1, x2,…, xn)= x11A11+ x12A12+…+ x1nA1n+ x21A21+ x22A22+…+ x2nA2n+…+ xnnAnn的函数，其中Aij是常数矩阵。如果一个二次型是半正定的，那么对于任意非零向量x，都有f(x)>= 0；如果一个二次型是半负定的，那么对于任意非零向量x，都有f(x)<= 0。

判断一个二次型是否为半正定或半负定，可以使用以下方法：

1.特征值法：首先计算二次型的特征值，然后判断这些特征值是否满足条件。如果所有特征值都大于等于0，则二次型为半正定；如果所有特征值都小于等于0，则二次型为半负定。

2.矩阵法：将二次型的系数矩阵A分解为A= PTQ的形式，其中P和Q都是正交矩阵，T是对角矩阵。然后计算对角矩阵T的元素之和，如果这个和大于等于0，则二次型为半正定；如果这个和小于等于0，则二次型为半负定。

3.秩法：计算二次型的系数矩阵A的秩，如果秩为n（n为向量x的维数），则二次型为半正定；如果秩小于n，则二次型为半负定。

需要注意的是，以上方法只能判断二次型是否为半正定或半负定，不能确定其是否为严格半正定或严格半负定。要判断严格半正定或严格半负定，需要使用更严格的条件。

如何判断二次型正定和怎么判断正定还是半正定的问题分享结束啦，以上的文章解决了您的问题吗？欢迎您下次再来哦！

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