微信关注，获取更多大家好，如果您还对零矩阵的秩是多少不太了解，没有关系，今天就由本站为大家分享零矩阵的秩是多少的知识，包括关于矩阵的秩的10个结论的问题都会给大家分析到，还望可以解决大家的问题，下面我们就开始吧！
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一、为什么非零矩阵的秩等于矩阵的阶数
由非齐次线性方程组AX=b无解，知R（A）＜R（B）
而矩阵B，是在矩阵A的基础上，增加了一列
m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1.在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
二、矩阵A的秩是多少
1、以n+1个n维向量作为列向量构成的矩阵的秩不超过n
2、(矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个)
3、引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
4、定理矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
5、定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
6、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
7、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
8、参考资料：百度百科-矩阵（数学术语）
三、为什么矩阵A的伴随矩阵的秩为零
因为A为n阶矩阵，且R（A）<n-1，则A的行列式等于零（如果不等于零的话，那它就是可逆矩阵，它的秩就等于n而不是＜n-1了）。那么n阶矩阵的最后两行就是n-1和n行是零行，不然秩不会＜n–1。A的伴随矩阵中的每一个元素都是行列式A中每个元素的代数余子式，不管是哪个元素的余子式最后一行都会是零行，而根据行列式的性质，只要有一行元素全部为零，则此行列式的值为零，因此对应的代数余子式也为零，这样构成的伴随矩阵也就为零了。因此此伴随矩阵的秩也为零。
四、秩等于0的矩阵一定是零矩阵吗
1、向量组的秩等于零意味着这个矩阵是零矩阵。矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。
2、参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。
3、矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩－零化度定理声称它等于f的像的维度。
4、（1）m×n的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的和为 A+ O= O+ A= A，差为 A- O= A，O- A=-A。
5、（2）l×m的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的积 OA为 l×n的零矩阵。
6、（3）l×m的任意矩阵 B和 m×n的零矩阵 O的积 BO为 l×n的零矩阵。
五、非零矩阵的秩r≥1么
1、三阶非零矩阵是指三行三列的矩阵，且至少有一个矩阵元素不是0。
2、非零矩阵中所含元素不全为零，即其为至少有一个元素不为零的矩阵，也就至少存在一个一阶行列式的值非零。所以非零矩阵的秩r≥1。
3、非零矩阵乘积为零的条件：AB=0的充要条件是B中的列向量均为Ax=0的解。（也可以说为B是由Ax=0的解空间中n个向量构成的矩阵）
4、性质1：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
5、性质2：若λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
6、性质3：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
好了，文章到这里就结束啦，如果本次分享的零矩阵的秩是多少和关于矩阵的秩的10个结论问题对您有所帮助，还望关注下本站哦！
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