考研数学题目,考研数学题目结构
这是题目
这是题目
这个题目,既可以用常规方法,套用公式,直接算出各项系数的公式,再算出偶数项之和。
也可以利用函数在1点 和0点 的值,展开成傅里叶级数后 和展开前相等。而且x=0点,所有cos nπx 都等于1,所以函数值等于 常数项 加 奇数项 系数和加偶数项系数 的和。
在x=1点,cos nπx 当n 为奇数时,就是cos π,cos3π,cos5π,。。。 的值 都是 -1
当n 为偶数时,就是 cos 2π,cos4π,cos6π。。。
的值都为1
所以,函数值 在1点的值等于,等于常数项,减去 奇数项系数和,加上偶数项系数和。
这样,就可以列出一个二元一次方程组,未知数分别为奇数项系数和 与 偶数项系数和,分别叫成x,y 解出方程来就算出来了。
解析延拓成偶函数
解析延拓 成偶函数
这个题目,函数只定义在半个周期上,对于这样的情况,既可以解析延拓为偶函数展开,也可以延拓为奇函数展开,看题目,要求展开成 cos,所以解析延拓成偶函数。
上图就是延拓以后的函数图形。
这样延拓以后,函数没有间断点,所以傅里叶级数在每一点都等于函数值,当然包括0点和1点。
傅里叶级数的常数项 应该等于 一个周期内,函数的积分,再除以函数的周期长度。也就是一个周期内的平均高度。
在 这里,函数一个周期为2,一个周期内的积分 是 三角形的面积,底边为周期长度2,高为1,总面积为1,周期长度为2。所以平均高度为1/2。 所以级数展开后常数项 应该为
1/2
列出方程
列出方程
按照上边的说明,列出以上方程组。
解出方程
解出方程
解出方程组,得出 偶数项系数和为0
考研数学题目(考研数学题目结构)