2010年考研数学()

2010年考研数学,

大家好!本文和大家分享一道2010年高考数学真题。这道题是2010年高考新课标全国卷的理科数学第17题,也就是第1道解答题,题目考查的数列的通项公式以及前n项和,也是一道非常经典的数列题,高中生应该掌握这类题。

先看第一小问:求数列的通项公式。从题干可以看出,本题考查的是递推法求数列通项公式。

递推法求数列的通项公式的关键是分析题干中的递推关系,然后再用相应的方法解题即可。常见的递推关系可以分为两类:一是已知项与项之间的关系;二是已知前n项和与an或n的关系。

对于递推关系为项与项之间的关系时,首先判断两项之间的系数关系。将两项分别移到等号的两边,如果两项系数相同,那么一般可以用累加法求解;如果两项系数不相同,那么一般是通过构造新的等差或等比数列来求解。

因此,本题可以用累加法来求数列的通项公式。即由a(n+1)-an=3×2^(2n-1)及a1=2可以得到:a(n+1)=[a(n+1)-an]+[an-a(n-1)]+…+(a2-a1)+a1=3[2^(2n-1)+2^(2n-3)+…+2]+2。接下里用等比数列求和公式求出2+…+2^(2n-3)+2^(2n-1)的值,此时需要注意的是该数列的公比为4,然后再求出an的通项公式。

再看第二小问:数列求和。

数列求和是数列的一个重要考点,而且数列如果出现在解答题中,数列求和基本是必考的知识。不少同学觉得数列求和很难,其实数列求和比求通项公式要简单得多,因为数列求和常见方法只有5种:公式法,倒序相加法,错位相减法,裂项消项法和分组求和法。

公式法主要用于等差数列和等比数列的求和;倒序相加法用于a(k+1)+a(n-k)为常数的情况;错位相减法用于等差数列与等比数列相乘的形式;裂项消项法主要用于分式形式;分组求和法主要用于通项为等差数列与等比数列之和、两个公比不相同的等比数列之和的形式。

由(1)可得:bn=n·2^(2n-1),即bn可以看成是等差数列cn=n和等比数列dn=2^(2n-1)相乘的形式,所以可以用错位相减法求bn的前n项和。

第一步:先用各项的和的形式写出Sn;

第二步:两边同时乘以等比数列的公比;

第三步:将两式相减,并算出此时等式右边的值,其中有一部分可以用等比数列求和公式求解;

第四步:两边同时除以(1-q),化简后即可得到Sn的表达式。

这是一道非常经典的数列题,也是高考的常考题型,对于高中生来说应该好好掌握。

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