研究生数学建模竞赛，研究生数学建模竞赛2022
聚类分析概述
聚类分析（cluster analyses）可作为一种定量方法，从数据分析的角度，给出一个准确、细致的分类工具。
聚类分析是一种无监督学习，与监督学习不同的是，簇中表示数据类别分类或者信息是没有的，是对位置类别的样本进行划分，按照一定的规则划分为若干个簇类，揭示其中存在的规律。
在数学建模中，聚类分析可以应用在数据预处理过程中，对于复杂结构的多维数据可以通过聚类分析的方法对数据进行聚集，使复杂结构数据标准化。聚类分析还可以用来发现数据项之间的依赖关系，从而去除或合并有密切依赖关系的数据项。聚类分析也可以为某些数据挖掘方法（如关联规则、粗糙集方法），提供预处理功能。在商业类问题上，聚类分析是细分市场的有效工具，被用来发现不同的客户群，并且它通过对不同的客户群的特征的刻画，被用于研究消费者行为，寻找新的潜在市场等等。
相似性度量
1.聚类分析（cluster analyses）可作为一种定量方法，从数据分析的角度，给出一个准确、细致的分类工具。
2.在聚类分析中，对于定量变量，常用的是 Minkowski 距离
3.在 Minkowski 距离中，常用的是欧氏距离，它的主要优点是当坐标轴进行正交旋转时，欧氏距离是保持不变的。因此，如果对原坐标系进行平移和旋转变换，则变换后样本点间的距离和变换前完全相同。
4.采用 Minkowski 距离时，一定要采用相同量纲的变量。如果变量的量纲不同，测量值变异范围相差悬殊时，建议首先进行数据的标准化处理，然后再计算距离。
5.在采用 Minkowski 距离时，还应尽可能地避免变量的多重相关性。多重相关性(multicollinearity)所造成的信息重叠，会片面强调某些变量的重要性。
6.由于 Minkowski 距离的这些缺点，一种改进的距离就是马氏距离，定义如下：
其中x, y为来自p 维总体Z的样本观测值，Σ为Z的协方差矩阵，实际中Σ往往是不知道的，常常需要用样本协方差来估计。马氏距离对一切线性变换是不变的，故不受量纲的影响。
7.此外，还可采用样本相关系数、夹角余弦和其它关联性度量作为相似性度量。
示例：
下图是数据的一般格式
则样品与样品之间的常用距离（样品i与样品j）
示例计算：
指标与指标之间的常用“距离”(指标i与指标j)
示例计算
2.2. 类与类间的相似性度量
一. 度量方法
1.由一个样品组成的类是最基本的类。如果每一类都由一个样品组成，那么样品间的距离就是类间距离。
2.如果某一类包含不止一个样品，那么就要确定类间距离，类间距离是基于样品间距离定义的。如果有两个样本类G1和G2，我们可以用下面的一系列方法度量它们间的距离：
1.最短距离法（nearest neighbor or single linkage method）
它的直观意义为两个类中最近两点间的距离。
2.最长距离法（farthest neighbor or complete linkage method）
它的直观意义为两个类中最远两点间的距离。
3.重心法（centroid method）
其中 x ‾ \overline{x}
，y ‾ \overline{y}
y
分别为G
4.类平均法（group average method）
它等于G1 ,G2中两两样本点距离的平均，式中n1 , n2 分别为G1 ,G2中的样本点个数。
5.离差平方和法（sum of squares method）
事实上，若 G1 ,G2内部点与点距离很小，则它们能很好地各自聚为一类，并且这两类又能够充分分离（即D12很大），这时必然有D = D12 − D1 − D2 很大。因此，按定义可以认为，两类G1 ,G2之间的距离很大。
二. 更形象化地表达
2.2. 系统聚类法 1. 概述
系统聚类法是聚类分析方法中常用的一种方法。它的优点在于可以指出由粗到细的多种分类情况，典型的系统聚类结果可由一个聚类图展示出来
如何才能生成这样的聚类图呢？，其步骤如下：
显而易见，这种系统归类过程与计算类和类之间的距离有关，采用不同的距离定义，有可能得出不同的聚类结果。
2.最短距离法
有了聚类图，就可以按要求进行分类。可以看出，在这五个推销员中w5的工作成绩最佳，w3w4的工作成绩最好，而w1w2的工作成绩较差。
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