泊松积分公式考研公式(泊松积分计算公式)

泊松积分公式考研公式，泊松积分计算公式

无理根式不定积分是数学分析的一个难题。这里老黄要介绍的是根式底数是二次函数的一类无理不定积分的解法。它是形如：∫R(x,√(ax^2+bx+c))dx型的不定积分.

表示被积函数为R，积分变量为x，但R中不仅含有x，还包括有无理根式，底数是一个二次函数的此类不定积分。其中，当a为正数时，二次函数判别式不等于0，就可以保证函数R存在非空定义域；而如果a是负数，则要求二次函数判别式必须大于0，才能保证函数R有意义。

由于二次函数可以配方成|a|(u^2±k^2)或|a|(k^2-u^2)的形式，其中u=x+b/(2a),k^2=|(4ac-b^2)/(4a^2)| (k>0),所以可以对不定积分进行进一步换元。

当a>0时，若配方成|a|(u^2+k^2)的形式，则可记u=ktanθ,θ=arctan((2ax+b)/(2ak)),

得到换元公式：∫R(x,√(ax^2+bx+c))dx=k∫(secθ)^2*R(ktanθ- b/(2a), ksecθ)dθ.

若配方成|a|(u^2-k^2)的形式，则可记u=ksecθ,θ=arcsec((2ax+b)/(2ak)),

得到换元公式：∫R(x,√(ax^2+bx+c))dx=k∫secθtanθR(ksecθ- b/(2a), ktanθ)dθ.

当a<0时，只能配方成|a|(k^2-u^2)的形式,则可记u=ksinθ,θ=arcsin((2ax+b)/(2ak)),

从而得到换元公式：∫R(x,√(ax^2+bx+c))dx=k∫cosθR(ksinθ- b/(2a), kcosθ)dθ.

应用时，要先通过配方判断二次函数的类型，以选择合适的解法。比如下面的这个不定积分，配方后可以发现，它属于第二种类型，因此要运用第二类换元公式，如下：

例1：求∫dx/(x√(x^2-2x-3)).

老黄前面曾介绍过另一类无理根式不定积分的解法，在《老黄学高数》系列学习视频的第304讲中有介绍，属于分式型无理根式不定积分的解法。只要二次函数可以因式分解，就有可能把它转化为分式型无理根式不定积分。显然，例1是符合的，因此老黄再给大家演示第二种解法，对比一下：

除此之外，还可以有第三种解法如下：

不过这种解法并不是通用的。只有在a>0时，可以令无理根式等于√ax±t,就可以转换得到一对换元公式如下：

关键两个公式都是可以用的，比如：

例2：求∫√(x^2-2x-3) dx.

分别选择两个公式，得到解法一如下：

解法二如下：

两个结果其实是完全一致的，因此我们只要保留其中一个公式，就选择符号比较简便的那个就可以了。

最后，当二次函数的常数项c>0时，还有最后一种换元公式如上图最后所介绍的那样。本来这个换元公式也是一对的，不过这里仅取其中的一个。

例3就是这样的一个类型：

例3：求∫dx/√(x^2-2x+3).

本文涉及到多个换元公式，它们没有谁绝对更简便的问题，应该说不同的不定积分，会适用不同的公式。至于应该选择哪一个，一方面需要进行尝试，另一方面需要经验来告诉你哦。

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